Bei Verhältnisaufgaben musst du erkennen, welche Größen gemeinsam wachsen und welche Bezugsgröße konstant bleibt. Der Dreisatz ist dafür ein hilfreiches Werkzeug, aber keine automatische Formel für jede Textaufgabe. In der Vorbereitung auf den Online-Eignungstest der Universität St.Gallen (HSG) empfehlen wir, zuerst die Beziehung in Worten zu beschreiben und erst dann eine Rechnung aufzubauen. Die HSG nennt quantitatives Problemlösen als Testbereich, veröffentlicht aber keine vollständige Liste einzelner mathematischer Aufgabentypen. Alle Aufgaben unten sind eigene Zulassungscoach-Übungen und keine offiziellen HSG-Fragen.
Ein Verhältnis ist mehr als ein Bruch
Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen unter einer klaren Bedingung. „Drei von fünf“ kann ein Anteil sein, „drei zu fünf“ ein Verhältnis zweier Gruppen. Beides ist mathematisch verwandt, aber der Nenner hat eine andere Bedeutung. Bei einem Anteil von drei von fünf ist fünf das Ganze. Bei einem Verhältnis drei zu fünf bestehen insgesamt acht Teile, wenn die beiden Gruppen zusammen das Ganze bilden.
Zulassungscoach-Übung 1: In einer fiktiven Lerngruppe beträgt das Verhältnis von Personen mit Schwerpunkt A zu Schwerpunkt B 3:5. Insgesamt sind 64 Personen in beiden Schwerpunkten. Wie viele gehören zu A? Die acht Verhältnisanteile entsprechen 64 Personen; ein Anteil entspricht 8 Personen. A hat 3 × 8 = 24 Personen, B hat 5 × 8 = 40. Wer 3/5 von 64 rechnet, verwechselt das Verhältnis zwischen A und B mit dem Anteil von A an der gesamten Gruppe.
Wir empfehlen, bei Verhältnissen zunächst ein kleines Balkenmodell zu zeichnen oder die Gesamtzahl der Verhältnisanteile auszuschreiben. Ein Rechenschritt mit der falschen Gesamtheit ist ein häufiger Fehler, der durch die Skizze sichtbar wird.
Direkte Proportionalität erkennen
Bei direkter Proportionalität wächst eine Größe im gleichen Verhältnis wie die andere, sofern alle übrigen Bedingungen gleich bleiben. Verdoppelt sich die Menge, verdoppelt sich etwa bei konstantem Stückpreis der Gesamtpreis. Der Dreisatz geht dann über den Einheitswert: Preis für eine Einheit bestimmen und auf die gesuchte Menge hochrechnen.
Zulassungscoach-Übung 2: Vier identische Notizhefte kosten zusammen CHF 14. Was kosten sieben Hefte zum gleichen Stückpreis? Ein Heft kostet CHF 14/4 = CHF 3.50. Sieben Hefte kosten 7 × CHF 3.50 = CHF 24.50. Die Bedingung „gleicher Stückpreis“ ist entscheidend. Gäbe es einen Mengenrabatt, wäre die direkte Proportionalität nicht automatisch gültig.
Eine schnelle Plausibilitätskontrolle: Sieben Hefte sind mehr als vier, also muss der Preis bei unverändertem Stückpreis über CHF 14 liegen. Das Ergebnis CHF 24.50 liegt in der erwarteten Richtung. Solche Richtungschecks sind im Training besonders nützlich, wenn ein Bruch versehentlich umgedreht wurde.
Indirekte Proportionalität nicht mit direkter verwechseln
Bei indirekter Proportionalität wird die eine Größe kleiner, wenn die andere größer wird, während eine Gesamtleistung konstant bleibt. Verdoppelt sich die Zahl gleich effizient arbeitender Personen, halbiert sich unter idealisierten Bedingungen die benötigte Zeit. Diese Bedingungen müssen aus der Aufgabe folgen; in realen Projekten sind Menschen nicht beliebig austauschbar.
Zulassungscoach-Übung 3: Sechs gleich schnelle Geräte bearbeiten eine feste Datenmenge in zehn Stunden. Wie lange brauchen zwölf solche Geräte unter sonst gleichen Bedingungen? Zwölf Geräte sind doppelt so viele; die Zeit halbiert sich auf fünf Stunden. Als Gegenprobe: 6 × 10 = 60 Gerätestunden, und 12 × 5 = ebenfalls 60 Gerätestunden.
Wenn du stattdessen zehn Stunden mit zwölf geteilt durch sechs multiplizierst, erhältst du 20 Stunden. Das würde bedeuten, mehr Geräte machten dieselbe Arbeit langsamer. Der Richtungscheck deckt den falschen Dreisatz auf. Notiere deshalb vor der Rechnung „mehr → mehr“ oder „mehr → weniger“.
Verhältnisse mit Einheiten aufbauen
Viele Verhältnisfragen enthalten eine Rate wie Kilometer pro Stunde, Euro pro Stück oder Fälle je 1.000 Personen. Schreibe die Einheit als Bruch mit. Wenn du CHF durch Personen teilst, erhältst du CHF pro Person. Wenn du Personen durch CHF teilst, erhältst du Personen pro CHF. Beide Rechnungen sind mathematisch möglich, aber nur eine beantwortet die jeweilige Frage.
Zulassungscoach-Übung 4: Eine fiktive Fahrt umfasst 180 Kilometer in drei Stunden. Gesucht ist die Durchschnittsgeschwindigkeit. Strecke geteilt durch Zeit ergibt 180 km/3 h = 60 km/h. Wenn eine zweite Fahrt 120 Kilometer in zwei Stunden umfasst, ist die Geschwindigkeit ebenfalls 60 km/h. Die Fahrtstrecken unterscheiden sich, die Rate ist gleich.
Bei einer Tabelle mit mehreren Raten darfst du die Zähler nicht addieren und die Nenner ignorieren. Für eine Gesamtrate addierst du gewöhnlich Gesamtstrecke und Gesamtzeit und teilst danach: (180 + 120) km / (3 + 2) h = 60 km/h. Ein einfacher Durchschnitt zweier Geschwindigkeiten kann bei ungleichen Fahrzeiten falsch sein. Prüfe stets, welche Größen gewichtet werden müssen.
Den Dreisatz als Prüfung der Annahmen verwenden
Bevor du „auf eins“ rechnest, frage, ob die Beziehung tatsächlich proportional ist. Ein Grundpreis plus variable Nutzungskosten ist nicht rein proportional. Ebenso kann ein Wert exponentiell wachsen oder durch eine Obergrenze begrenzt sein. Der Dreisatz liefert dann eine scheinbar saubere, aber inhaltlich falsche Antwort.
Zulassungscoach-Übung 5: Ein fiktiver Dienst kostet CHF 10 Grundgebühr plus CHF 2 pro Nutzung. Vier Nutzungen kosten CHF 18. Was kosten acht Nutzungen? Ein direkter Dreisatz aus 4 → 18 auf 8 → 36 wäre falsch. Die korrekte Rechnung ist 10 + 8 × 2 = CHF 26. Der Gesamtpreis wächst nicht proportional zur Nutzungszahl, weil die Grundgebühr konstant bleibt.
Wir empfehlen, in Textaufgaben nach Wörtern wie „Grundgebühr“, „fix“, „je“, „pro“, „höchstens“ und „Rabatt“ zu suchen. Sie zeigen, welche Teile einer Größe konstant und welche variabel sind. Eine Verhältnisrechnung ohne diesen Bedeutungscheck ist ein typischer Zeitfresser: Du rechnest schnell, musst aber später den Ansatz korrigieren.
Mischverhältnisse und gewichtete Durchschnitte
Auch Mischungen lassen sich über Verhältnisse verstehen. Wenn Gruppe A aus 20 Personen mit einem Durchschnittswert von 70 und Gruppe B aus 80 Personen mit Durchschnitt 80 besteht, ist der Gesamtdurchschnitt nicht einfach (70 + 80)/2 = 75. Die große Gruppe zählt stärker. Der gewichtete Durchschnitt ist (20 × 70 + 80 × 80)/100 = 78.
Zulassungscoach-Übung 6: Eine fiktive Bibliothek hat 30 kleine Bestellungen mit durchschnittlich zwei Büchern und zehn große mit durchschnittlich sechs Büchern. Wie viele Bücher pro Bestellung sind es insgesamt? Die kleinen Bestellungen enthalten 60 Bücher, die großen ebenfalls 60. Insgesamt 120 Bücher auf 40 Bestellungen ergeben durchschnittlich drei Bücher pro Bestellung. Der einfache Mittelwert der beiden Gruppenmittel wäre vier und wäre falsch, weil die Gruppen unterschiedlich groß sind.
Dieses Prinzip ist für Tabelleninterpretation wichtig: Wenn Gruppengrößen wechseln, kann eine Gesamtquote anders aussehen als eine ungewichtete Durchschnittsquote. Unsere Empfehlung ist, bei Gesamtfragen zunächst die absoluten Mengen zu rekonstruieren. Erst danach teilst du durch die Gesamtzahl.
Eigene Trainingsserie mit Lösungswegen
Aufgabe A: Das Verhältnis Rot zu Blau beträgt 2:3; insgesamt gibt es 45 Elemente. Lösung: fünf Teile insgesamt, neun Elemente pro Teil, also 18 rote und 27 blaue.
Aufgabe B: Drei gleiche Maschinen fertigen eine feste Menge in acht Stunden. Unter ideal gleichen Bedingungen arbeiten sechs Maschinen wie lange? Lösung: doppelte Maschinenzahl, halbe Zeit = vier Stunden. Gegenprobe: 3 × 8 = 6 × 4 = 24 Maschinenstunden.
Aufgabe C: Ein Tarif kostet CHF 5 fix und CHF 0.50 je Einheit. Was kosten 20 Einheiten? Lösung: 5 + 20 × 0.50 = CHF 15. Ein Dreisatz aus einem beobachteten Gesamtpreis wäre hier nur nach Abzug der Grundgebühr zulässig.
Aufgabe D: Zwei Gruppen haben 10 beziehungsweise 30 Personen; ihre Durchschnittswerte sind 50 beziehungsweise 70. Gesamtdurchschnitt? Lösung: (10 × 50 + 30 × 70)/40 = 65. Die Gruppenmittel dürfen nicht gleich gewichtet werden.
Bei jeder Aufgabe solltest du vor der Rechnung die Beziehung benennen: Verhältnisanteile, direkte Proportionalität, indirekte Proportionalität, lineare Grundgebühr oder gewichteter Mittelwert. Genau diese Klassifikation ist der eigentliche Lerngegenstand.
Zeitdruck und Fehlerdiagnose
Der HSG-Online-Eignungstest dauert insgesamt 70 Minuten. Eine feste Zahl von Verhältnis- oder Dreisatzaufgaben ist auf der aktuellen Auswahlseite nicht veröffentlicht. Trainiere deshalb die Denkentscheidung statt einen vermeintlichen Aufgabenkatalog. Wenn du eine Aufgabe falsch löst, notiere, ob das Verhältnis falsch gelesen, die Richtung der Proportionalität verwechselt, eine Grundgebühr übersehen oder eine Gruppe falsch gewichtet wurde.
Wir empfehlen zunächst kurze Serien ohne Uhr. Sobald du die Beziehung zuverlässig erkennst, setzt du ein selbst gewähltes Zeitfenster. Ein guter Fortschrittsindikator ist, dass du vor dem Rechnen in einem Satz sagen kannst, ob mehr von Größe A zu mehr oder weniger von Größe B führt. Wenn dir diese Aussage nicht gelingt, bringt schnelleres Rechnen wenig.
Nutze den offiziell verlinkten HSG-Übungstest, um die Methode an Beispielaufgaben der Testoberfläche zu erproben. Private Übungen wie die hier gezeigten dienen dem Transfer. Sie können die offizielle Demo ergänzen, aber keine sichere Aussage über reale Aufgaben, Punkteschwellen oder Zulassungschancen liefern.
Zusatzübung: Zwei Bedingungen in einer Verhältnisaufgabe
Zulassungscoach-Übung 7: In einer fiktiven Gruppe stehen erfahrene zu neuen Mitgliedern im Verhältnis 2:3. Nach dem Eintritt von zehn neuen Mitgliedern lautet das Verhältnis 1:2. Wie viele Mitglieder gab es ursprünglich? Setze die ursprünglichen Zahlen als 2x und 3x. Nach dem Eintritt gilt 2x : (3x + 10) = 1:2. Als Gleichung: 2 × 2x = 3x + 10, also x = 10. Ursprünglich gab es 20 erfahrene und 30 neue Mitglieder, zusammen 50. Danach stehen 20 zu 40 im Verhältnis 1:2. Der Lösungsweg zeigt, dass Verhältnisanteile nicht einfach mit einer neuen Personenzahl addiert werden dürfen, ohne die betroffene Gruppe zu benennen.
Eine Gegenfrage vertieft das Verständnis: Was wäre geschehen, wenn zehn Personen zu beiden Gruppen gekommen wären? Dann ergäbe sich 30:40 = 3:4, nicht 1:2. Die Ausgangsbeziehung ist dieselbe, aber die Änderungsbedingung eine andere. Wir empfehlen, solche Varianten nebeneinander zu lösen und jeweils zu erklären, welche Gruppe sich verändert. So übst du das Modellieren der Situation statt nur das Einsetzen in eine bekannte Dreisatzform.
Dein nächster Schritt
Wähle aus bisherigen Übungen drei Aufgaben, bei denen du einen Dreisatz benutzt hast. Prüfe für jede: War die Beziehung wirklich proportional? War sie direkt oder indirekt? Welche Einheit hatte der Einheitswert? Rechne danach eine neue Aufgabe desselben Strukturtyps. Wenn du die Annahmen begründen kannst, nutzt du den Dreisatz als Werkzeug statt als Reflex.
Passende Vorbereitung
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