Bei einer Mischung solltest du nicht zuerst die Prozentwerte mitteln. Berechne für jede Ausgangsmenge, wie viel reiner Bestandteil darin steckt, addiere diese Bestandteile und teile durch die Gesamtmenge. So erhältst du die Konzentration der Mischung. Dieses Vorgehen funktioniert für Lösungen, Legierungen oder andere zusammengesetzte Mengen, solange die Größen addierbar sind. Alle folgenden Beispiele sind eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgaben; sie sind keine offiziellen HSG-Aufgaben.
Die Universität St.Gallen beschreibt den Online-Eignungstest mit den Bereichen „Quantitatives Problemlösen“ und „Diagramme und Tabellen“. Die HSG bestätigt damit keine bestimmte Aufgabenfamilie zu Konzentrationen oder Mischungen. Die Übungen hier trainieren eine allgemeine Rechenmethode und dürfen nicht als Originalfragen der Universität verstanden werden.
Konzentration als Anteil am Ganzen
Eine Konzentration von 20 Prozent bedeutet: 20 von 100 Mengeneinheiten sind der betrachtete Bestandteil. In 500 ml einer Lösung mit 20 Prozent Alkohol stecken bei einer vereinfachten Aufgabenannahme 0,20 × 500 = 100 ml Alkohol. Der übrige Anteil beträgt 400 ml. In einer mathematischen Trainingsaufgabe wird meist angenommen, dass sich die Mengen addieren und dass der Prozentsatz auf dieselbe Bezugsgröße angewandt wird.
Schreibe daher immer drei Angaben auf: Gesamtmenge, Konzentration und Menge des reinen Bestandteils. Die Grundformel lautet: Bestandteil = Gesamtmenge × Konzentration als Dezimalzahl. Für die Konzentration der Mischung gilt: Bestandteil gesamt ÷ Gesamtmenge gesamt. Prozentwerte wandelst du vor der Multiplikation in Dezimalzahlen um, also 15 % = 0,15.
Warum Prozentwerte nicht einfach gemittelt werden
Ein Mittelwert aus Konzentrationen ignoriert die unterschiedlichen Mengen der Ausgangslösungen. 100 ml einer 10-prozentigen Lösung und 900 ml einer 30-prozentigen Lösung ergeben keine 20-prozentige Mischung. Der größere Ansatz mit 30 Prozent prägt das Resultat stärker. Erst wenn beide Ausgangsmengen gleich groß sind, entspricht der Mischwert dem arithmetischen Mittel der Konzentrationen.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 1: Du mischst 200 ml einer 10-prozentigen Lösung mit 300 ml einer 20-prozentigen Lösung. Wie hoch ist die Konzentration danach? Reiner Bestandteil: 0,10 × 200 = 20 ml; dazu 0,20 × 300 = 60 ml. Gesamtbestandteil 80 ml, Gesamtmenge 500 ml. Konzentration: 80/500 = 0,16 = 16 %. Ein einfacher Mittelwert der Prozentwerte ergäbe 15 % und wäre falsch. Gegenprobe: 16 Prozent von 500 ml sind 80 ml.
Auch wenn du zwei gleich große Mengen mischst, solltest du das Mengenprinzip einmal sichtbar anwenden. Es schützt dich, sobald im nächsten Beispiel die Mengen ungleich sind. Nach mehreren Übungen kann die Abkürzung über den Mittelwert bei gleichen Mengen sicher genutzt werden.
Zwei Ausgangsmengen und eine Zielkonzentration
Bei einer Mischungsaufgabe kann statt der Endkonzentration die benötigte Menge gesucht sein. Wenn eine bestehende Lösung mit reinem Bestandteil oder mit Wasser verdünnt wird, ist die Menge des Bestandteils oft konstant oder ändert sich nach einer klaren Regel. Formuliere dazu eine Bestandsgleichung. Eine Variable für die unbekannte Menge macht sichtbar, worauf sich die Prozentangabe bezieht.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 2: 400 ml einer 25-prozentigen Lösung werden mit Wasser auf 10 Prozent verdünnt. Wie viel Wasser kommt hinzu? Anfangsmenge des Bestandteils: 0,25 × 400 = 100 ml. Nach der Zugabe seien x ml Wasser enthalten; die Gesamtmenge ist 400 + x. Für 10 Prozent gilt 100/(400 + x) = 0,10. Daraus folgt 400 + x = 1.000 und x = 600 ml. Gegenprobe: 100 ml Bestandteil in 1.000 ml Gesamtvolumen sind 10 Prozent. Die Zugabe erhöht nur die Gesamtmenge, nicht die Menge des betrachteten Bestandteils.
Die Annahme, dass das Volumen einfach addiert wird, ist hier eine Modellannahme der Aufgabe. In chemischen Anwendungen können Volumina beim Mischen voneinander abweichen. Wenn eine Aufgabe keine solche Abweichung berücksichtigt, rechnest du mit den angegebenen additiven Größen und machst daraus keine naturwissenschaftliche Behauptung über jedes reale Gemisch.
Verdünnen, konzentrieren oder verstärken
Verdünnen bedeutet, dass der Anteil des Wirkstoffs gleich bleibt, während die Gesamtmenge wächst. Konzentrieren kann durch Entfernen von Lösungsmittel oder Hinzufügen reinen Wirkstoffs erfolgen. In beiden Fällen musst du herausfinden, welcher Teil sich ändert. Wird Wasser verdampft, bleibt die Wirkstoffmenge gleich; wird Wirkstoff zugegeben, wächst sie.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 3: Eine 500-ml-Lösung enthält 12 Prozent Wirkstoff. Wie viel reiner Wirkstoff muss hinzugefügt werden, damit die Mischung anschließend 20 Prozent enthält? Anfangsbestandteil: 0,12 × 500 = 60 ml. Zugabe x ml reiner Wirkstoff ergibt (60 + x)/(500 + x) = 0,20. 60 + x = 100 + 0,20x; 0,80x = 40; x = 50 ml. Danach sind 110 ml Wirkstoff in 550 ml Mischung, also 20 %. Gegenprobe: 110/550 = 0,20.
Hier steigt sowohl Zähler als auch Nenner. Ein häufiger Fehler wäre, 20 Prozent von 500 ml zu berechnen und 100 − 60 = 40 ml zuzugeben. Dann entstünden 100 ml Wirkstoff in 540 ml Gesamtmenge, ungefähr 18,5 Prozent. Die Zielquote bezieht sich auf die neue Gesamtmenge, die durch die Zugabe ebenfalls größer geworden ist.
Zwei unbekannte Anteile aus der Gesamtbilanz bestimmen
Wenn die Gesamtmenge und die Zielkonzentration vorgegeben sind, kannst du die Bestandteile gleichsetzen. Bei zwei Ausgangslösungen lässt sich eine Gleichung aufstellen: Anteil A × Menge A + Anteil B × Menge B = Zielanteil × Gesamtmenge. Zusammen mit einer Gesamtmengenbedingung lassen sich unbekannte Mengen bestimmen.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 4: Wie viele Milliliter einer 40-prozentigen und einer 10-prozentigen Lösung müssen gemischt werden, um 300 ml einer 20-prozentigen Lösung zu erhalten? Sei x die Menge der 40-prozentigen Lösung; dann sind 300 − x ml die 10-prozentige. Wirkstoffbilanz: 0,40x + 0,10(300 − x) = 0,20 × 300. Daraus: 0,30x + 30 = 60; x = 100 ml. Also 100 ml der 40-prozentigen und 200 ml der 10-prozentigen Lösung. Gegenprobe: 40 ml + 20 ml = 60 ml Wirkstoff in 300 ml, also 20 %.
Die Zielkonzentration liegt zwischen den beiden Ausgangskonzentrationen. Wenn du bei einer Mischung aus 10 und 40 Prozent einen Zielwert von 50 Prozent erhältst, ist wahrscheinlich ein Vorzeichen-, Nenner- oder Prozentumrechnungsfehler passiert, sofern kein zusätzlicher reiner Wirkstoff hinzukommt.
Konzentration mit mehreren Komponenten
Manchmal enthält eine Mischung mehr als zwei Ausgangsteile. Die Methode bleibt gleich: Für jede Komponente berechnest du Menge × Anteil, addierst alle Wirkstoffmengen und teilst durch die Summe aller Gesamtmengen. Wenn die Komponenten unterschiedliche Inhaltsstoffe bezeichnen, musst du für jeden Stoff eine eigene Bilanz führen. „Wirkstoff A“ und „Wirkstoff B“ sind nicht automatisch austauschbar.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 5: Drei Ansätze werden gemischt: 100 ml zu 5 Prozent, 200 ml zu 15 Prozent und 100 ml zu 25 Prozent. Bestandteile: 5 + 30 + 25 = 60 ml. Gesamtmenge: 400 ml. Endkonzentration: 60/400 = 15 %. Gegenprobe: 15 Prozent von 400 ml sind 60 ml. Der einfache Mittelwert von 5, 15 und 25 Prozent wäre ebenfalls 15 Prozent, aber diese Übereinstimmung entsteht zufällig durch die Gewichtung der Mengen; sie ist keine allgemeine Regel.
Bei mehreren Ansätzen lohnt sich eine kleine Tabelle mit Spalten für Volumen, Konzentration und reinen Bestandteil. Die Summenzeile zeigt dir sofort, ob eine Ausgangsmenge übersehen wurde. Prüfe auch, ob alle Volumina in derselben Einheit vorliegen. 0,5 Liter sind 500 ml.
Massenanteile und Volumenanteile nicht verwechseln
Eine Prozentangabe braucht eine klare Bezugsgröße. 10 Prozent nach Masse bedeutet beispielsweise 10 g Bestandteil je 100 g Mischung; 10 Volumenprozent bedeutet 10 ml je 100 ml Mischung. Beide Quoten sind nicht ohne Weiteres austauschbar. Wenn eine Aufgabe die Einheit nicht nennt, liefert sie häufig eine vereinfachte mathematische Situation. Interpretiere sie im Rahmen der gegebenen Größen und ergänze keine Dichtewerte, die nicht bereitgestellt wurden.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 6: Eine Legierung besteht aus 30 g Kupfer und 70 g eines zweiten Metalls. Wie hoch ist der Kupferanteil nach Masse? Gesamtmasse: 100 g. Anteil: 30/100 = 30 %. Gegenprobe: 30 Prozent von 100 g entsprechen 30 g. Würde die Aufgabe stattdessen Volumenanteile fragen, reichen diese Angaben allein nicht; Dichten oder Volumina wären erforderlich.
Eine fehlende Bezugsgröße ist kein Rechenhindernis, das du durch Raten überwindest. Frage, ob genügend Daten vorhanden sind. Genauigkeit beim Nenner ist wichtiger als eine komplizierte Formel.
Fehlerdiagnose: So findest du den falschen Nenner
Bei falschen Mischungsergebnissen liegt der Fehler häufig im Nenner: Du hast durch das Volumen einer Ausgangslösung statt durch die Gesamtmenge geteilt. Oder du hast den Anteil der reinen Substanz mit der Gesamtmenge verwechselt. Schreibe den Bestand in einer eigenen Zeile auf und rechne erst anschließend den Prozentwert aus.
Ein zweiter Fehler ist das frühe Runden. Wenn du 1/3 schon auf 0,33 abrundest und mehrere Komponenten summierst, kann die Abweichung wachsen. Halte Brüche oder mehr Dezimalstellen bis zum Endschritt. Ein dritter Fehler ist das Missachten einer neuen Gesamtmenge, wenn reine Substanz hinzugegeben wird.
Kontrollfragen: Liegt die Mischung zwischen den Ausgangskonzentrationen? Ist bei Verdünnung der reine Bestandteil gleich geblieben? Ist nach Zusatz reiner Substanz sowohl der Wirkstoff als auch das Gesamtvolumen gestiegen? Stimmen die Einheiten? Ergibt die Rückrechnung „Konzentration × Gesamtmenge“ wieder den berechneten Bestand?
Gegenproben und schnelle Überschläge
Die wichtigste Gegenprobe ist die Stoffbilanz: Jede Mischung muss dieselbe Gesamtmenge eines erhaltenen Bestandteils enthalten, die du aus den Ausgangslösungen berechnet hast. Bei Wasserzugabe bleibt der Wirkstoff konstant. Bei reinem Wirkstoffzuschlag wächst er um genau die Zugabe. Bei einem Zielwert prüfst du, ob die resultierende Konzentration tatsächlich diesen Anteil hat.
Für einen Überschlag gilt: Eine Mischung aus 10 und 30 Prozent muss zwischen 10 und 30 Prozent liegen. Bei neun Teilen der 10-prozentigen Lösung und einem Teil der 30-prozentigen Lösung muss sie näher an 10 Prozent liegen. Die genaue Rechnung ergibt (9 × 10 + 1 × 30)/10 = 12 Prozent. Ein Ergebnis von 20 Prozent wäre klar unplausibel.
Eigene Zulassungscoach-Trainingsaufgabe 7: Du mischst 900 g einer 10-prozentigen Masseanteil-Lösung mit 100 g einer 30-prozentigen. Wirkstoff: 90 + 30 = 120 g. Gesamtmasse 1.000 g, Anteil 12 %. Gegenprobe: 12 % von 1.000 g = 120 g. Die geringe Menge der stärkeren Lösung hebt die Mischung nur leicht über 10 Prozent.
Transfer: Von der Mischung zur Dateninterpretation
Mischungsaufgaben trainieren, dass ein Anteil nur zusammen mit seiner Bezugsgröße aussagekräftig ist. Dieses Denken hilft auch beim Vergleich von Quoten in Tabellen: Eine große absolute Zahl kann aus einer großen Gruppe stammen, während eine kleinere Zahl eine höhere Quote bedeutet. Bei Mischungen lautet die Frage nach dem Nenner: Gesamtmenge nach dem Zusammenführen. Bei Tabellen können Zeile, Spalte oder Gesamtheit der Bezug sein.
Die Methoden sind verwandt, aber die Hauptfrage dieser Seite bleibt die Zusammensetzung einer neu gebildeten Gesamtmenge. Für Tabellenprozente und Bezugsgruppen findest du deshalb einen eigenen Ratgeber zu Bezugsgrößen in Tabellen. Für allgemeine Prozentbegriffe gibt es zudem Prozent und Prozentpunkte. Diese Seiten ersetzen nicht die Bestandsbilanz einer Mischung.
Nächster Schritt
Übe zuerst eine Aufgabe mit zwei ungleichen Mengen, dann eine Verdünnung und eine Zielkonzentration mit unbekanntem Zusatz. Schreibe jedes Mal die Menge des reinen Bestandteils vor der Konzentration aus. Erst wenn du alle Ausgangsanteile sicher findest, lohnt sich das schnellere Einsetzen in eine Gleichung.
Zur Einordnung des offiziellen HSG-Verfahrens und zu den dort tatsächlich bestätigten Testbereichen nutze die Auswahlseite der Universität St.Gallen. Sie verlinkt auch einen offiziellen Übungstest. Die hier dargestellten Zahlen sind davon getrennt erstellte Zulassungscoach-Trainingsaufgaben.
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